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零基础微积分入门基本教程(一)

w568w

(收到了1800次阅读,有点小开心呐~~~~)
原文发布地址在这里,可能更新会比本网页勤快一些。

前言

非常高兴你能浏览到这篇文章。
我也不太清楚我写作的动机,可能纯属兴趣使然吧。

参考书籍

  1. 《高等数学(第六版)》上册
    同济大学数学系 编
    高等教育出版社 出版
  2. 《7天搞定微积分》
    石山平 大上丈彦 著 李巧丽 译
    南海出版公司 出版

我是否适合看下去?

在看这篇文章前,你至少需要掌握以下知识:
1. 至少初中水平的数学应用能力
2. 至少小学水平的阅读能力
3. 耐心和对数学的热情
4. 以上三条是扯淡
5. 这条也是

What’s calculus?

在正式开始学习微积分前,首先我们得明白微积分是啥。
百度一下,我们很容易找到这样的描述:

微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的 微分积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。
内容主要包括 极限微分学积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

诶诶诶,别跑啊,我知道这种专家写出来的东西不是一般人能领会的了得。。

简单的说, 微积分学是高等数学(并不是高中数学)的重要组成部分,它的地位,相当于小学的四则运算或是初中的方程运算。它非常奇怪、麻烦,可是在高等数学中,你时时刻刻都要用到它。

当然, 人们不会故意发明奇怪、麻烦的东西来为难自己,它的应用十分广泛,我们在后面会慢慢提到。

它主要分成两个部分: 微分积分,它们相辅相成,虽各有变化却互为表里,是一对 基佬兄弟。我们会在接下来的文章中分别讨论这两个东西。

废话不多说,马上上干货~~

一.导数

导数是微分学的主要内容。翻回去看看百度百科对导数的解释:

导数描述一个函数的变化率。

这是啥么意思呢?变化率是个什么东西?

1.1 First Blood —— 斜率

先来看个函数图像:
y=x
相信你一口就能报出这个函数的解析式:


然后,我们再看个稍微复杂点的图像:
此处输入图片的描述
额,这哪里复杂了嘛!明明还是个一次函数啊。。。

不不不,差别大了去了,试试找出这两个函数图像的不同之处?

上下滚动页面,你应当能够看出 图像倾斜程度存在着区别,有的数学老师也叫它 $k$决定函数陡平啥啥的。

回忆一次函数的表达式:


哈,所以上面这个式子里, 值的大小就代表着图像倾斜程度的大小,不是吗?

好了,你的头脑中已经有了基本的微分概念了,同学们,下课!

你的表情?
哈哈,开个玩笑,还是先别急着关掉页面(从哪里能找到这么没节操的文章 真是)。
不过这句话并没有问题,应当说,从初中学习函数开始,我们就有了对于这些知识的模糊概念,只是它们尚未发掘出来。 所以这篇所谓的教程,其实就是帮助万恶的数学老师解决这些概念问题…

还是回到上面这个简单的例子。我们说 这两个函数的 倾斜程度不同,因为 显得更”陡”一些。

虽然小明同学觉得这样描述很好,但是呢,数学家们就是不满足于”a比b陡”这样听起来不是很清楚( 也可能是因为他们语文阅读能力不行)的描述方式,(这样听起来不够 炫酷狂霸拽)于是发明了一个很好(奇)听(怪)的名字用来描述一条线的陡峭程度,这就是———— 斜率

当当!我们终于接触到了第一个数学定义。

呃…虽说这个定义还不完整,甚至你还没弄清啥意思,不过万事总有个开头的,是吧?

接下来我们将慢慢解释斜率这个听起来很高大上的名词。

既然说斜率是个数值,是数值就应该能被写出来。那么我们怎么表示它呢?

再再一次回到上面的例子。容易发现,当 时,图像明显比 时的要陡峭不少。继续画下去:
图像会越来越陡。
此处输入图片的描述
我们发现, 值增大使得函数更陡峭。
因此, 对于一次函数,我们可以用k值大小来表示它的斜率

这个定义听起来很唐突、很随意啊…高大上的感觉顿时都没有了…

更一般地说,斜率也可以这么得出:
此处输入图片的描述

这样,我们对于斜率就有精确的定义了,它不再是一个模糊的概念,而是一个可以拿来比较大小的数值了。比方说, 的斜率就是

你可能被这些概念搞得有点懵。重新强调一遍, 斜率描述一条线的陡峭程度。而 一次函数的 值越大,图像越陡,所以 对于一次函数,我们可以用 值大小来描述它的斜率

如果你就是没办法把 和斜率联系起来,稍微喘口气,再往下看吧。

1.1.1 [选读]斜率的严格定义

(对于初三及以上水平的读者,你们可以有选择性地阅读这些标有”[选读]“文字的部分,因为这些部分可以加深你对一些知识的理解。如果你不想看, 跳过也没关系

警告:数学重灾区,请在成年人的陪同下观看。


先看看百度百科上的 斜率词条:

slope,又称“角系数”,是一条直线对于横坐标轴正向夹角的正切,反映直线对水平面的倾斜度。

此处输入图片的描述
如图, 线 的斜率即为
其中 又被称为 倾斜角,取值范围为

故:当直线的斜率存在时,斜截式 ,其斜率即为


1.2 点的斜率?

到现在为止,我们所讨论的函数都仅限于一次函数。你可能觉得数学家们真是一群闲得蛋疼的人,一个简单的 值都要起个难听的名字。况且,这和微积分有个卵关系?

别猴急,我们先来进一步讨论斜率的含义。在我们搞清楚这些基本概念前,空谈微积分是没啥意义的。


言归正传。
对于二次函数甚至反比例函数,又该如何表示它的斜率呢?

先来看看这个熟悉的二次函数吧。
此处输入图片的描述
相信这样简单的U型的函数,你已经非常熟悉了。但是,在表示它的斜率时,你会发现有点小麻烦,啊不,是大麻烦。

对于这个函数,我们还能用 值来表示它的倾斜程度吗?

稍做思考,你会发现行不通。这个函数的陡峭程度不是用一个”陡”或者”平”能描述得了的。它的图像自左向右,先是快速下降,再逐渐减缓,在原点处猛地拐了一个180度的大弯,又开始逐渐变快、飞速上升。

那么,显然它的整个图像的斜率已经无法直接表示了。我们是不是能求出其中一段的斜率呢?

比方说,在y轴右边的这半个曲线,如果只看从0到2这一小段,你会觉得它很像 的一小段。
此处输入图片的描述

嘿,这一段的斜率是不是差不多是 呢?

不对。

额,也不能说是全错,毕竟只是弯了点啊。。

所以让我们继续放大图像,取更小的区间试试?
于是我们放大大大大大大大大大大大大大(此处省略N个大)
此处输入图片的描述

诶,这两个图像看起来有一部分重合了呢?!
也不全然,毕竟前者是 曲线,后者是 直线呐。。
显然,即使我们放大下去,两个图像也很难有相同的部分,或者说不可能有。
看来硬凑直线的方法行不通,得换个思路。


咳,如果你看得一头雾水,稍微提示一下:

我们是否能对图像上的 一个点求斜率呢?

例如对于 这个点,我们在它的左右各取一个点B、C,并逐渐靠近它:

PS: 从这里我开始尝试使用 GeoGebra 来作图,网页版的画图实在是太!蛋!疼!了!。。

此处输入图片的描述

此处输入图片的描述
就这样不断靠近靠近。。
此处输入图片的描述
此处输入图片的描述
终于,在N+N次逼近A点后, 三个点几乎实现了重合:
此处输入图片的描述
注意,我这里之所以强调 几乎,是因为它们确实没有碰上,只是它们之间的距离已经微小到了无穷的小。

此时,我们仍然能作直线 ,我们就称这条直线为 在函数 上的切线

好了,讲了这么多,我们可以回到原来的话题了。点A的斜率是多少?我相信,你已经心中有数了吧。

点A的斜率就是点A在函数图像上的切线的斜率。

这句话初看有点儿像句绕口令,多看几次才能搞明白。

(假设你已经看明白了,如果没有,你就假装看懂了 :) )

OK,那么接下来,让我们正式开始导数的学…哦不!可能还要加点料才行….

1.3 极限?

在介绍导数之前,我们还得弄懂另外一个概念:极限。
极限,顾名思义,就是到达了极点的状态。比如说,考试还有1分钟就要结束时题目还没有答完时的感觉,或者暑假开学前的晚上猛补作业时的感受。人们在遇到极限时通常都会想:“不行了!不行了!”

但是,数学中的极限也是这个意思吗?如果指”不行了”“到头了”,又怎么能解决数学问题呢?
事实上,数学中的极限的含义更加积极,它有”尽可能靠近”的意思,也就是无限地靠近。
由于是 学,自然离不开数值了…所以, 极限就是指一个数值尽可能地向另一个数靠近。

啥叫”尽可能地靠近”?举个例子,小明的家距离学校1000m,某天小明去上学,于是他与学校的距离变化如下:
1000m

500m

200m

100m

1m

0.1m

0.01m

0.0000000000001m


0.0000000000000000000000000001m
可以看到,小明与学校之间的距离越来越小,越来越靠近于0m,但是就是到达不了0m( 因为他不想上学),于是我们就可以说


突然给出这么一个数学式子,你可能会一脸蒙蔽:这是个啥?
查查英汉词典可得知: Lim原来是 Limit的缩写,而 Limit就是”极限”的意思。下面的小字里的” “表示“向xxx靠近”,所以这里的意思是”让 距离 这个值给我向0m尽可能地靠近!”

上面这个式子就表示 距离 无限地向 靠近(但是就是到达不了 !)

OKOK,理解了,那么让我们在式子上再加点花样吧!


诶。。更晕了。。你可能会想:“这东西…现在我连符号都看不懂了!“别急,让我再给你挨个儿解释解释!


首先看这个 ,这里的 是啥意思呢?其实很简单,f是单词“function”开头第一个字母,“function”就是函数的意思,所以 就是指某个函数。比如说一次函数,在初中学习中我们表示成

想表示 时的值,我们得说
但是到了高中数学以及高等数学中,因为这样写起来太麻烦了,所以同一个函数,我们表示成
想表示 时的值,就可以简练地写成
是不是很方便?
(顺便说一句,这里不一定必须用 作为函数的标识,如果你喜欢,也可以写


回到上面的式子。 就是以x为自变量的某个函数,在这里它到底是什么,我们不管它。
继续往下,下面的” “意思应该是”自变量x向a无限地靠近”。
这样,这个式子我们至少弄懂一半了, 就是表示”对于 这个函数,让 无限地逼近 “。
奇怪的是,式子的后面居然出现了等于号…小明上学时,与学校的距离也是一直在不停地变小啊…如果说是无限靠近 ,又哪来的等于不等于呢?难道 这么神奇,可以一边靠近,一边等于某个值吗?

这里就要提醒一下了:含有 的式子里,所有” “的意思都有一点小小的变动,不再表示”等于什么”,而是“靠近什么”。

所以啊,上面这个式子表示 “当 无限地靠近 的时候, 无限地靠近
啪啪啪!第一个奇怪的数学符号,终于是被我们弄明白了!

1.3.1 小练习

稍微弄几道关于极限的题来做做吧…我们来找找感觉。

第一题


唉…没什么难度嘛,直接把1代入进 算一下,结果就是


第二题


稍微需要一点计算了, ,所以答案是


第三题


似乎和第二题差不多么,只是计算有点麻烦了,列个式子算一下, ,结果是


第四题

你可能纳闷:这和一般的函数计算有什么区别?从哪里能体现出这个 的特殊性?
来看这题:


妈呀,这题好像不能代入计算了?难道答案是 吗?
不可能,分数的分母不能为0的…
那要怎么算呢?没有结果吗?
实际上,我们发现这个式子可以因式分解:
所以上面的题目就相当于
答案就是

这里你可能会说: 既然为0了,又怎么能约分上面的分数呢?
我们需要再看一遍极限的概念: 一个数值尽可能地向另一个数靠近。这里的 准确地说,应该是一个非常非常接近于0,但不是0的值,所以是可以约分的。
这里用到了因式分解的技巧,算是比较麻烦的一题,我们暂时搁下,不深入讨论了。


1.3.2 额外的问答时间

你可能还有一些问题..让我尝试解答一下。

问:为什么代入数值,求得的就是它的极限呢?有什么理论依据吗?
答:这个问题比较难以解释,需要牵扯到函数的连续性之类的。我们还是按下不表,以免影响了本文的易懂性。

问:上面说极限的格式是 ,怎么后面又写成 了呢?
答:格式里给出的写法是大概的、通用的写法,实际使用中我们不会写成


这么麻烦,直接用 代替极限格式中的 ,其潜台词也就是默认 了。

1.4 斜率的计算

嗯,讲完了斜率的画法和极限的概念,我们可以综合一下这两个知识,开始真正的导数之旅了。

我们来看看斜率到底是怎么算出来的。
此处输入图片的描述
我们仍然以这个函数图像 为例。
如果我们设A点的坐标为 ,那么C点坐标可以表示成 (h是某个值),这没问题吧?
那么

如果你看到这个式子感到一脸懵,那么你得重新看看这张图了:
此处输入图片的描述
一次函数的斜率是某两点的竖直高度差除以水平高度差。类似地,AC的斜率我们也可以这么写。
继续我们的计算:
这样,我们就得到了两点之间的斜率公式。

再进一步想想,我们要求出的是点A的斜率,光有两点的斜率公式要怎么办呢?

不管三七二十一,咱们先把数值代进式子里面再说。A点的坐标是(1,1),所以有

这个式子看起来还是没法算啊…让我们稍微再化简一下,可以发现

所以这个式子还可以进一步化简:

根据刚学到的完全平方公式,还可以再展开:

这里的 是多少呢?

刚才讲到, 表示的是A点与C点横坐标的距离。而这两点,在前面就说到是非常非常接近的,所以 应该是一个很小很小的值。

很小很小…很接近很接近…有没有觉得这两句话有点熟悉?













没错!就是在 极限?这一节里,我们简要地讲了如何正确处理数学里很接近的值。

关键的地方来了! 既然很小,我们就可以把上式加上 写成


然后,后面这个式子的计算方式已经略熟悉啦,直接算出

这样,我们就终于得出了 点A(1,1)在 上的切线AC的斜率,也就是 点A(1,1)在 上的斜率
看起来,计算一个点的斜率也没那么困难嘛!

1.4.1 小结

上面求斜率的过程可以概括成这几步:
1. 在要求斜率的点 附近找出一个与它很靠近的点
2. 把斜率用 表示出来!
3. 在式子前面加上 ,代入进去计算斜率!

1.4.2 通式

从上面的过程中我们可以看出,求某个点的斜率有固定的步骤和方法。依照这个方法,理论上来说我们可以求出任何函数上点的斜率。
接下来让我们试着找出这样一个公式,来表示任何函数 上任意的点 的斜率,这样,以后进行计算时就很方便了。
这个过程并不困难。让我们用 来代替上面的 就可以了。

这就是 任意函数在某一点的一般斜率公式
呼, 讲了这么多废话,我们总算开始步入正轨 ,而不是在各种概念上原地打转了。(哈哈)

记不住完整的公式也不要紧,需要用到的时候现场推导就可以了,理解这个有点复杂的式子才是关键。

1.4.3 求斜率有什么用?

我们已经基本掌握了求某一个点的斜率的方法。那么,这个东西有什么用处呢?
毕竟,如果没有实际用途的话,这样的数学工具看起来也没有什么意义啊…
在求导的用途中,最重要的也就是 求某一点的切线的函数式
因为用导数可以得出某一点的斜率,把斜率作为 代入 ,很方便地能求出该点的切线方程。
实际上,在本文中我们就是用”某一点切线的斜率”来定义”某一点的斜率”的,是不?

依然以上面一节中的 和点 为例,我们来求一下A点的切线方程。

已经知道A点的斜率为2了,所以立即有

是A点的切线方程。

又知道这个方程经过A点,故使用待定系数法:

解得
所以A点的切线方程就是
这个结果对不对?画出来看看就知道有没有问题了。
图中红色的线就是我们刚刚求出的直线。看起来它的确是A点的切线。

另一个用途是 求函数的最大/最小值。容易看出,上面这个函数的顶点 的斜率为0。
因为顶点有”这一点的前后既不在上升,也不在下降”的性质,所以 顶点的斜率都应该是0
也就是说,只要找到一个函数中有一个斜率为0的点,就可以确定这一点是函数的一个顶点。

在接下来的 导函数 一节里,我们会讲得更多。

1.5 导函数

了解了导数和函数,这个”导函数”是个什么东西啊?别急,听我慢慢道来。

再看一眼这个式子:

其实,这个式子就是 的导函数

函数是什么?我们复习一下函数的定义:

设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数 和它对应,那么就称映射 为从集合A到集合B的一个函数,记作

不好意思拿错了,是这个:

在一个变化过程中,假设有两个变量x、y,如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应,那么就称x是自变量,y是因变量,y是x的函数。

也就是说,只要有一个对应关系f,就可以说f是个函数。
函是”匣子”的意思。把一个数 装进一个匣子,按照某个算式计算出另一个数字,就是函数。

因此, 对f(x)求导的式子也是函数
这个函数,对于每一个x,计算出的结果都是 上的斜率。需要求导的时候,我们就不用对每个数字都重新列式求一遍了,直接代入导函数就行,很方便。

导函数一般记作


继续以 为例,我们看看它的导函数长什么样子。
这次我们不代入任何值,直接运用上面的公式:

然后是:
最后

又因为h靠近0,所以直接舍去,得到:

所以

仔细观察这个式子,我们发现它很有特点。
比如说想求 斜率,我们也不用重新计算了,直接用导函数就行了。

同理,想求 斜率的话:
是不是很方便?


导函数本身也是函数。所以对导函数 求导还可以得到另一个函数,称为二阶导数,一般记作
同理,还会有三阶导数 、四阶导数 ….
当撇号过多时,比如说有个99999阶导数,直接记作 即可,不用打撇号了。


导函数有什么意义?只是为了装逼吗?
在了解这个问题之前,先想想导函数 和函数 之间的区别和联系。

项目
对应的函数值 是函数的值 是函数 的图像上,横坐标为 的这一点的求导结果
是否是函数
求导结果
函数零点的意义 无特殊意义 的顶点的横坐标

(注:零点:函数的零点就是 这个方程的解。
比如 的零点就是 的解,也就是 。)

所以,导函数有一个重要的作用,就是 计算函数的顶点坐标
由于顶点的特殊性,该点的斜率是0,所以只要找出导函数 的零点,相当于找到了顶点。

为例。它求导的结果是

的解就是 。这是不是与你在课堂上学到的二次函数的最值完全一致?


导函数的另一个作用是画函数草图。

前面已经说过,如果导函数 ,说明函数在这一点上的斜率是正的,也就是说,在这一点的前后,函数应该呈上升的趋势。
相反,如果 ,说明函数在这一点上的斜率是负的。在这一点的前后,函数应该呈下降的趋势。
于是乎,只要搞明白 的图像,就可以把 的图像画出来了。

举个例子,如果我们要画 的草图,我们可以结合导函数这么画:

  1. 求导,得到 .
  2. 画出 的图像。
    此处输入图片的描述
  3. 准备开始画图!先找出一个起点,这里我们取 这一点,也就是
    此处输入图片的描述
  4. 按照 的图像所示,y轴的右边应该都是上升的,而且斜率越来越大,也就是:
    此处输入图片的描述
  5. 同理,画出左半边:
    此处输入图片的描述

这样就把 的图像大概描出来了。
这题中导函数的优势还不能充分体现出来。遇到一些比较复杂的函数,一般结合导函数这样画图比较方便。

1.5.1 导数的表示方法

前面说到,导函数一般记作
但是,实际上导函数还有一些常见的表示方法,这里介绍两种,以备后面的 装逼使用。

第一种也就是刚刚讲的加撇号表示法。这种方法是在19世纪,一个叫 约瑟夫·路易斯·拉格朗日 的法国大叔发明的。
此处输入图片的描述
在他的表示法里, 的导函数记作 或者

这种表示方法非常常见,因为它写起来很容易,加个撇号只要花上你半秒钟的时间。

但是,它的弊端在于,如果有这么一个函数:


那么 表示什么?

,到底谁才是自变量?谁是常量?

到底 表示是对 求导,还是对 求导?

不得而知。

要是有一种表示方法可以体现出对谁求导就好了。

这时,我们就需要第二种表示方法,也就是 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 ,另一个德国大叔的写法。他也是微积分的主要创始人,他生活在17世纪,比上面那位要早几百年。
此处输入图片的描述
关于 求导可以表示成:


这些式子看起来很让人头晕…
( 正因如此,他的符号至今仍在大学数学中频频现身。)
这里的 Derivative(导数)的首字母。
式子的含义是对分母上的自变量,求分子上的函数的导数。

其中, 可以看成是一个整体,它乘以谁,就是对谁求导。
例如:

所以,如果我们想要表示导数的导数,也就是 ,要怎么写呢?

就是:

分子上加平方的位置看起来怪怪的。而且d似乎也不遵循乘法定律。
你可能觉得莱布尼兹的方法很麻烦,但是在后面的章节里,你会逐渐明白这样表示的优点。


作者的话:因为高二学业繁忙,更新会非常缓慢…大概每周末只能更新一两节。
如果你觉得每次只看一点点很无力的话,欢迎在导数篇完成时再来完整地阅读一遍..
大约还需要一个月的时间完工。我会加快进度的…

w568w
梦想改变自己的疯子。